En bachillerato, el CÁLCULO DIFERENCIAL, sirve de base para estudios profesionales en ingeniería, ciencias naturales y sociales, donde se imparten cursos superiores de matemáticas que formalizan su estudio y extienden sus aplicaciones en procesos reales.
El Cálculo Diferencial resulta ser una poderosa herramienta de trabajo en manos de ingenieros y científicos ya que son innumerables los problemas que pueden ser resueltos con ella.
La palabra “cálculo” proviene del latín “calculus” que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza la historia del cálculo, es decir, de las matemáticas.
Definición de Función
Una función del conjunto A (llamado Dominio) al conjunto B (llamado Contradominio o Rango) es una relación entre los elementos del conjunto A y el conjunto B, tal que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
La función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elementos, tales que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto.
Notación Funcional
El dominio de la función lo representarás con 𝑿 y el contradominio con 𝒀
𝒙 es un elemento del dominio (es decir, 𝑥 ∈ 𝑋)
Las siguientes expresiones son funciones:
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏
La correspondencia se ilustra a través de flechas en el siguiente diagrama.
Definición de Dominio
Se llama “Dominio de una función” al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
Definición de Contradominio o Rango
Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
Concepto de Argumento
Es cada elemento del dominio
Concepto de Imagen
Es cada elemento que perteneciente al conjunto y se le llama “Contradominio” el cual es correspondiente asociado a cada argumento de la función.
Gráfica de una función
Es el lugar geométrico de los puntos del plano (𝑥, 𝑦), para todo argumento 𝑥 del dominio, le corresponde un contradominio (y), donde 𝑦 = (𝑥).
Por ejemplo, la siguiente imagen es la gráfica de una función.
Hay dos tipos de funciones: Las Algebraicas y las Trascendentes.
Las Funciones Algebraicas
Son aquellas cuya variable dependiente se obtiene combinando un número finito de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces en los que se involucra la variable independiente.
Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas, donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la raíz.
Por ejemplo:
Las funciones polinómicas tienen una gran aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto, la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, entre otros.
Las funciones algebraicas
Son aquellas cuya regla de correspondencia (la relación que existe entre un argumento y su imagen correspondiente asociada) es una expresión algebraica.
Funciones polinómicas
Se le llama función polinómica de grado 𝑛, si tiene la forma (𝑥) = 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛, 𝑎0 ≠ 0. En donde 𝑛 es un entero positivo.
Todas las funciones polinómicas tienen como dominio al conjunto de números reales 𝑅, pero su contradominio varía dependiendo del tipo de función que sea.
Raíz de una función
Un número 𝑟 es raíz de una función si y solo si (𝑟) = 0. Y las raíces de una función representan el conjunto de argumentos (elementos del dominio) donde la gráfica de la función se intersecta con el eje 𝑥.
Función de identidad
La función de identidad se define mediante la expresión (𝑥) = 𝑥.
Tiene la propiedad de que a cada argumento 𝑥 del dominio le hace corresponder el mismo valor en el contradominio y por lo tanto, esta función es la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°.
Función Lineal
La función lineal se define como una expresión de la forma (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏.
La función lineal solo tiene una raíz en el punto (− 𝑘 , 0), pues si 𝑓(𝑥) = 0, 𝑚𝑥 + 𝑘 = 0, de donde, despejando 𝑚𝑥 = −𝑘, y finalmente 𝑥 = − 𝑘 𝑚 .
La representación de este tipo de funciones es una recta.
Por ejemplo:
Función Constante
La función constante se define mediante la expresión 𝑦 = (𝑥) = 𝑘, en donde 𝑘 es un número real diferente de cero, es decir 𝑘 ≠ 0.
La cual tiene la propiedad de que a cada argumento 𝑥 del dominio le hace corresponder la misma imagen 𝑘.
La función está definida por una constante y no interviene la variable independiente.
Por ejemplo:
Función cuadrática
La función cuadrática es un polinomio de segundo grado.
Tiene la forma (𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0.
Viene expresada por una función polinómica de segundo grado y su representación en el plano cartesiano es una parábola.
Para hallar las raíces de una función cuadrática, se utiliza la fórmula general de segundo grado que tiene la forma:
Por ejemplo:
Función cúbica
La función cúbica se define como un polinomio de tercer grado
Tiene la forma (𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, 𝑎 ≠ 0.
Por ejemplo:
Funciones racionales
Se expresan mediante el cociente de polinomios.
Por ejemplo:
Funciones irracionales
Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica, o cuando la variable independiente está elevada a exponentes fraccionarios.
Por Ejemplo:
Funciones trascendentes
Son cuando la variable independiente forma parte del exponente o de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una relación trigonométrica.
Las funciones trascendentes se clasifican en:
Función exponencial, función logarítmica, función trigonométrica directa e inversa.
Función exponencial:
Es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real.
Por ejemplo:
Función logarítmica
Es la inversa de la función exponencial.
Por ejemplo:
Funciones trigonométricas directas
Son aquellas donde la variable independiente forma parte del ángulo en una razón trigonométrica.
Por Ejemplo:
Funciones trigonométricas inversas
Son las funciones inversas de las razones trigonométricas.
Por ejemplo:
Función creciente
Es creciente cuando a medida que crece el valor de la variable independiente (x) crece el valor de la función f(x)
Por ejemplo:
Función Decreciente
Es decreciente cuando a medida que el valor de la variable independiente (x) aumenta, el valor de la función f(x) disminuye. Esto dependerá de los intervalos en los que se analice.
Por ejemplo:
Ejemplo del comportamiento de una función
Otro ejemplo:
Continuidad y discontinuidad:
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y la discontinua si puede levantar el lápiz y dibujar en dos o más trazos.
Por ejemplo:
¿Qué ocurre cuando se tienen dos o más funciones en el planteamiento de problemas?
Respuesta= Se podrían obtener nuevas funciones combinándolas con las operaciones básicas de suma, diferencia, producto y cociente. También se puede obtener nuevas funciones realizando lo que en cálculo se conoce como composición de funciones.
LÍMITES
Cuando en los ejemplos se da como resultado una indeterminación de la forma 0/0 , en los cuales se busca utilizar algún caso de factorización para resolverlo y posteriormente analizar una comprobación a partir de su gráfica.
Por ejemplo:
INDETERMINACIÓN
Para resolver esta indeterminación en los ejemplos de LÍMITES cuando “x” tiende a algo y se sustituye en la ecuación, en este caso se realiza las factorizaciones correspondientes.
Por ejemplo:
Luego se grafica, quedando de la siguiente manera:
