DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 

 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

  

 

Las derivadas de las funciones trigonométricas

 

 

f(x) = sen(x)

 

f(x+h) - f(x)		sen(h + x) - sen(x)
	=
h		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
	=
		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =	Lim    [		]  = cos(x)
	Cuando h tiende a cero	h

 

 

FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

 

Tomando en cuenta que cada función tiene una derivada que no cambia. Se multiplica la derivada de la función trigonométrica por la derivada del ángulo, y por cualquier número que anteceda a la función, pero el ángulo se mantiene igual.

 

f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x) f(x)= cos(x) f '(x)= -sen(x) f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec2(x) f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= -csc2(x) f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x) f(x)= csc(x) f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

REGLA DE LA CADENA (DERIVADAS)

 

 

 

REGLA DE LA CADENA

 

Se utiliza cuando hay varios términos elevados a una potencia.

 

Por ejemplo:

 

y = ( 4x³ + 2x ) ³

y’ = 3 ( 4x³ + 2x ) ^3-1  * (12x² + 2 )

y’ = 3 (12x² + 2 ) *  ( 4x³ + 2x ) ² 

y’ = (36x² + 6 ) *  ( 4x³ + 2x) ² 

 

		Aplicando regla		Desarrollando el binomio
f(x)	=	(3x + 5)2	=	9x2 + 30 x + 25
f '(x)	=	18x + 30	=	6(3x + 5)
f(x)	=	(3x + 5)3	=	27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x)	=	81 x2 + 270x + 225	=	9(3x + 5)2
f(x)	=	(3x + 5)4	=    81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x)	=	324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x)	=	(3x + 5)5
	=	243x5 + 2025x4  + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x)	=	1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
	=	15 (3x + 5)4

 

Después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente menos 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

 

Una potencia entera de una función f.

Sea y=[f (x)]ⁿ  = 

y'=n[f(x)](n-1) f '(x)

 

Ejemplo 1 :

f(x)= (2x + 3)3    f '(x)= (3)(2x + 3 ) 3-1 f '(x)= (3)(2x + 3)² (2) = 6(2x + 3)2

 

Ejemplo 2: 

f(x)= 2x sen(3x)  f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x)

  EJEMPLOS